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In mwcgmatematica, ogni mwcwnumero intero è mwdapari oppure mwdqdispari: un numero è pari se è mwdgmultiplo di mwdw2, altrimenti è dispari. Esempi di numero pari sono: −56, 0, 12, 28, 56, 388. Esempi di numero dispari: −7, 19, 83, 95, 463, 1005, 32721.

• Descrizione

• Aritmetica dei numeri pari e dispari

• Addizione e sottrazione

• Moltiplicazione

• Divisione

• Note

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

L'mwewinsieme dei numeri pari può essere scritto nel seguente modo:

mwfgPari mwfw = 2 Z = { … … , − − 6 , − − 4 , − − 2 , 0 , 2 , 4 , 6 , … … } {\displaystyle =2\mathbb {Z} =\{\ldots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\ldots \}} .

L'insieme dei numeri dispari può essere scritto nel seguente modo:

mwgwDispari mwha = 2 Z + 1 = { … … , − − 5 , − − 3 , − − 1 , 1 , 3 , 5 , … … } {\displaystyle =2\mathbb {Z} +1=\{\ldots ,-5,-3,-1,1,3,5,\ldots \}} .

La caratterizzazione di un intero relativa all'essere pari o dispari si dice mwhgparità. Essa equivale alla appartenenza ad una delle due mwhwclassi di resto modulo 2: [0]mwia2 per gli interi pari, [1]mwiq2 per i dispari.

Un numero espresso con il mwiwsistema di numerazione mwjadecimale è pari o dispari a seconda che la sua ultima cifra sia pari o dispari, quindi è dispari se l'ultima cifra è 1, 3, 5, 7, o 9, altrimenti è pari. La stessa idea è valida se si usa una qualsiasi base pari. In particolare, un numero espresso nel mwjqsistema di numerazione binario è dispari se l'ultima cifra è 1 e pari se l'ultima cifra è 0, mentre un intero espresso nel mwjgsistema numerico esadecimale è pari se la sua ultima cifra è 0, 2, 4, 6, 8, A, C o E ed è dispari in caso contrario, cioè se la sua ultima cifra è 1, 3, 5, 7, 9, B, D o F. In sistemi di numerazione a base dispari, invece, il numero è pari o dispari a seconda della parità delle somma delle sue cifre, ovvero a seconda della sua mwjwradice numerica.

I numeri pari formano un mwkqideale nell'mwkganello degli interi, mentre i numeri dispari non formano né un sottogruppo additivo né, a maggior ragione, un ideale. Un intero è pari se è congruente a 0 mwkwmodulo l'ideale, in altre parole se è congruente a 0 modulo 2, e dispari se è congruente a 1 modulo 2.

Tutti i mwlqnumeri primi sono dispari con una eccezione: il numero primo 2. Tutti i mwlgnumeri perfetti conosciuti sono pari; non si sa se esistano dei numeri perfetti dispari.

La mwmacongettura di Goldbach asserisce che qualsiasi numero pari maggiore di 2 è uguale alla somma di due numeri primi. I calcoli eseguiti con i moderni mwmqcomputer hanno mostrato che questa congettura è vera per interi fino ad almeno 4 mwmg× 10mwmw18,cite-ref-1[1] ma non è ancora stata trovata una mwoadimostrazione matematica generale.

Le leggi seguenti possono essere verificate usando le proprietà di mwowdivisibilità, e il fatto che 2 è un numero primo:

• pari mwpw± pari = pari;

Dimostrazione: 2mwqgn mwqw± 2mwram = 2(mwrqn mwrg± mwrwm) che è pari.

• pari mwsg± dispari = dispari;

Dimostrazione: 2mwtqn mwtg± (2mwtwm+1) = 2(mwuan mwuq± mwugm) + 1 che è dispari.

• dispari mwvq± dispari = pari.

Dimostrazione: (2mwwan+1) mwwq± (2mwwgm+1) = 2(mwwwn mwxa± mwxqm) + 2 = 2(mwxgn mwxw± mwyam + 1) che è pari.

• dispari mwyw± pari = dispari.

Dimostrazione: mwzgvedi la 2.

• pari mwag× pari = pari;

Dimostrazione: 2mwbqn mwbg× 2mwbwm = 4mwcanm ed essendo 4 multiplo di 2 allora il numero è pari.

• pari mwcw× dispari = pari;

Dimostrazione: 2mwdgn mwdw× (2mweam+1) = 4mweqnm + 2mwegn = 2(2mwewnm+mwfan) quindi il risultato è pari.

• dispari mwfw× dispari = dispari;

Dimostrazione: (2mwggn+1) mwgw× (2mwham+1) = 4mwhqnm+2mwhgn+2mwhwm+1 = 2(2mwianm+mwiqn+mwigm)+1 forma base di un numero dispari.

La mwjqdivisione di due numeri interi non dà necessariamente come risultato un numero intero. Ad esempio, 1 diviso 4 è uguale a 1/4, che non è intero e pertanto non è né pari né dispari, in quanto il concetto di pari o dispari si applica solo agli interi. Quando il risultato è un intero:

• pari / dispari = pari;

Dimostrazione: Sia mwkgA un qualsiasi numero pari e mwkwB un qualsiasi numero dispari. Un numero si dice pari quando nella sua scomposizione in fattori primi è presente il numero 2 con qualsiasi esponente diverso da 0. Se dividiamo quindi un numero pari per un dispari, il fattore 2 non verrà mai "intaccato". Quindi il risultato sarà di nuovo 2 moltiplicato per qualcosa che è la forma base di un numero pari.

• dispari / dispari = dispari;

Dimostrazione: siano mwmaA e mwmqB dispari. Se per assurdo mwmgC=mwmwA/mwnaB fosse un numero pari, allora sarebbe anche vero che mwnqC×mwngB = mwnwA e mwoaA sarebbe un numero pari (per la dimostrazione data sopra della moltiplicazione tra pari e dispari). Ma questo sappiamo che non può essere per le ipotesi iniziali, quindi abbiamo un assurdo.

• pari / pari può dare un risultato o pari o dispari.

Dimostrazione: 2mwpqn / 2mwpgm = mwpwn/mwqam che può essere un risultato pari o dispari a seconda dei casi

• dispari / pari non dà mai un risultato intero.

Dimostrazione: (2mwrqn+1) / 2mwrgm = 2mwrwn/2mwsam + 1/2mwsqm = mwsgn/mwswm + 1/2mwtam. 2mwtqm, con m intero, è sicuramente maggiore di 1. Quindi la frazione dà sempre un risultato compreso fra 0 e 1.

cite-note-11. ↑ mwva(mwvqmwvgEN) Tomás Oliveira e Silva, mwvwmwwaGoldbach conjecture verification, su mwwqieeta.pt, 30 dicembre 2015.

• mwxqFunzioni pari e dispari

• mwxwParità dello zero

• mwyqNumero

• mwywNumero intero

• mwzqPermutazione pari

• mwzwRelazione di congruenza

Altri progetti

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• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Parity, su MathWorld, Wolfram Research.